Первый закон Кирхгофа.

Формулировка: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Первый закон Кирхгофа

Устанавливать знаки для входящих и исходящих токов можно произвольно, но обычно придерживаются правила знаков.

Правило знаков: токи, входящие в узел, берутся со знаком "+", а выходящие из узла - со знаком "-".

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме эдс.

Второй закон Кирхгофа

Перед записью уравнения по второму закону Кирхгофа выбирают направление обхода по замкнутому контуру (по часовой стрелке или против). Здесь так же принято правило знаков.

Правило знаков: слагаемые, в которых ток и эдс совпадают по направлению с выбранным направлением обхода контура, берутся со знаком плюс "+", в противном случае берутся со знаком минус "-".

Запись системы уравнений Кирхгофа

Определим два понятия узел и ветвь

Количество уравнений Кирхгофа

На практике составляют минимальное количество уравнений. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных, которые необходимо найти. Неизвестными в данной задаче являются токи. Количество возможных токов равняется количеству ветвей, так как в каждой ветви протекает определенный ток.

Поэтому достаточно сосчитать количество ветвей в схеме, для того чтобы знать, сколько необходимо будет составить уравнений.

Рассмотрим произвольную схему. Для наглядности каждая ветвь выкрашена разным цветом

Количество ветвей в схеме

Легко вычислить, что в данной схеме 6 ветвей, значит, необходимо будет составить 6 уравнений.

Следующим шагом будет расчет количества уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законами Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа стараются записать максимально возможное количество уравнений, так как они значительно проще. Логично, что всего по первому закону Кирхгофа можно составить уравнений столько, сколько в схеме узлов. На практике берут на одно уравнение меньше, так как уравнение для одного узла является суммой остальных уравнений составленных по первому закону Кирхгофа. То есть если записать все уравнения, то система будет несовместной и ее будет невозможно решить. Для рассматриваемой схемы узлы отмечены красным цветом.

Количество узлов в схеме

Количество узлов - 4, значит необходимо составить 3 уравнения по первому закону Кирхгофа. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. В рассмотренном случае нам необходимо будет записать 3 уравнения по второму закону Кирхгофа.

Подытоживая все выше сказанное, можно записать :

После того как определены количества уравнений, выбирают направления токов каждой ветви. Делать это можно произвольно, но желательно ток ветви сонаправлять с эдс данной ветви. На рисунке токи, сонаправленные с эдс, помечены красным цветом, а токи, расставленные произвольно, - синим.

Выбор направления токов

Составим 3 уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c.

На рисунках приведены окрестности узла. Красным помечены токи, втекающие в узел, они по правилу знаков берутся с "+". Синим - токи, вытекающие из узла. Они берутся со знаком "-".

Составим 3 уравнения по второму закону Кирхгофа. Необходимо помнить, что при записи очередного уравнения нужно использовать еще не задействованные ветви. Таким образом, в этих уравнениях должны быть описаны все ветви.

Для записи уравнения Кирхгофа нужно выбрать замкнутый контур и направление обхода в нем. Токи и ЭДС, помеченные красным цветом, совпадают с направлением обхода и по правилу знаков записываются с "+". А токи и эдс, помеченные синим, не совпадают с направлением обхода, и они пишутся со знаком "-". Просмотр контура начинают с какого-либо узла. Вначале просматривают все резисторы контура, делая один оборот обхода, затем ставят знак "=" и делают второй обход, уже записывая в уравнение ЭДС.

Для того чтобы рассчитать токи в данной задаче, необходимо решить следующую систему уравнений,

Система уравнений Кирхгофа

где неизвестными являются токи I1 - I6.Эту систему уравнений можно записать в матричной форме:

A I = B E ,

где А и В соответственно матрицы коэффициентов при токах и эдс в уравнениях:

А   =   Матрица кэффицентов токов,

B   =   Матрица кэффицентов эдс,

I   =   Столбец токов,   E   =   Столбец эдс.

Элементы матрицы B равны коэффициентам при эдс в правой части уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Первые 3 строки матрицы имеют нулевые элементы, так как эдс в правой части уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, отсутствуют. Остальные строки содержат элементы +1, -1 в зависимости от того, с каким знаком входит эдс в уравнение, и 0, если эдс в уравнения не входит. I, E - матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных эдс.

Решение системы в матричной форме

I = (A-1 B) E = G E,

где A-1 - матрица, обратная A,   G = A-1 B - матрица проводимостей.